Аксиома параллельных прямых. Видеоурок «Аксиома параллельных прямых
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- дать представление о неизвестных учащимся аксиомах геометрии, повторить уже известные им аксиомы;
- ввести аксиому параллельных прямых;
- ввести понятие следствия из аксиом, теорем;
- показать как используются аксиома параллельных прямых и следствия из неё при решении задач;
- воспитание патриотизма, гордости за свою родину на примере великого русского математика Н.И.Лобачевского.
Оборудование: компьютер, проектор.
ХОД УРОКА
1. Проверка предыдущего домашнего задания
2. Повторение уже известных учащимся аксиом планиметрии
Учитель:
В знаменитом сочинении
Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были
систематизированы основные известные в то время
геометрические сведения. Главное же − в
«Началах» был развит аксиоматический подход к
построению геометрии, который состоит в том, что
сначала формулируются основные положения, не
требующие доказательства (аксиомы), а затем на их
основе посредством рассуждений доказываются
другие утверждения (теоремы). Некоторые из
аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас
используются в курсах геометрии.
Само слово «аксиома» происходит от греческого
«аксиос», что означает «ценный, достойный».
Полный список аксиом планиметрии, принятых в
нашем курсе геометрии, приведён в приложениях в
конце учебника на страницах 344-348. Эти аксиомы вы
рассмотрите дома самостоятельно.
Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали.
Вспомните и сформулируйте эти аксиомы.
Учащиеся:
1) Имеются, по крайней мере, три точки, не лежащие
на одной прямой.
2) Через любые две точки проходит прямая, и притом
только одна.
3) Из трёх точек прямой одна и только одна лежит
между двумя другими.
4) Каждая точка О прямой разделяет её на две части
(два луча) так, что любые две точки одного и того
же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые
две точки разных лучей лежат по разные стороны от
точки О.
5) Каждая прямая а разделяет плоскость на две
части (две полуплоскости) так, что любые две точки
одной и той же полуплоскости лежат по одну
сторону от прямой а, а любые две точки разных
полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой
а.
6) Если при наложении совмещаются концы двух
отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
7) На любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
8) От любого луча в заданную полуплоскость можно
отложить угол, равный данному неразвёрнутому
углу, и притом только один.
Учитель: Какие прямые называются параллельными на плоскости?
Учащиеся: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Учитель: Сформулируйте признаки параллельности прямых.
Учащиеся:
1) Если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180˚ то прямые
параллельны.
3. Новая тема. Аксиома параллельных прямых
Учитель: Решим задачу: «Через точку М, не лежащую на прямой а, проведите прямую, параллельную прямой а».
План решения задачи обсуждается всем классом. Один из учащихся записывает решение на доске (без записи в тетрадях).
Учитель:
Возникает вопрос: можно ли
через точку М провести ещё одну прямую,
параллельную прямой а?
Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах»
Евклида содержится пятый постулат: «И если
прямая, падающая на две прямые, образуют
внутренние и по одну сторону углы, меньше двух
прямых, то продолженные эти прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньше двух
прямых». Прокл в V в.н.э. переформулировал
постулат Евклида проще и понятнее: «Через точку,
не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной». Это и есть аксиома
параллельных прямых. Отсюда видно, что
рассмотренная выше задача имеет единственное
решение.
Многие математики предпринимали попытки
доказать пятый постулат, так как его
формулировка слишком напоминала теорему. Все эти
попытки каждый раз оказывались неудачными. И
лишь в XIX в. было окончательно выяснено, что пятый
постулат Евклида нельзя доказать, он сам
является аксиомой.
Огромную роль в решении этого вопроса сыграл
великий русский математик Николай Иванович
Лобачевский (1792-1856).
4. Смотрим презентацию о Н.И.Лобачевском
5. Закрепление изученного. Решение задач
Дан ∆АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
Решение.
Согласно аксиоме параллельных прямых, можно провести единственную прямую.
Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение.
3 прямые 4 прямые
Ответ: 3 или 4 прямые.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим следствия из аксиомы параллельных прямых.
Следствие 1˚. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Следствие 2˚. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (Предлагается доказать учащимся самостоятельно).
Чертёж тот же.
Дано:
а || b, с || b
Доказать:
а || с
Доказательств
о (метод «от противного»):
Пусть прямые а и с не параллельны. Тогда они
пересекаются в некоторой точке М. Через точку М
проходят две различные прямые (а и с),
параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме
параллельных. Значит наше предположение не
верно. А верно то, что а || с. Ч.т.д.
Второе следствие из аксиомы параллельных прямых
является по сути дела ещё одним признаком
параллельности прямых на плоскости.
Решение задач: №№ 217 (устно), 218 (устно), 198, 200, 213.
№ 217 (устно)
Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.
Решение.
Если а || b и b || с, то а || с (следствие 2˚).
Если произвольная прямая d ∩ а, то d ∩ b (следствие 1˚).
№ 218 (устно)
Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.
Решение .
Возьмём на прямой а точку А b. Через точку А можно провести единственную прямую, параллельную прямой b (аксиома параллельных). Построенная прямая будет пересекать прямую а, так как имеет с ней общую точку А.
Прямые а и bперпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
Дано:
ар, bр, с ∩ а
Найти:
пересекает ли с прямую b?
Решение:
если ар и bр, то а || b (теорема).
Если с ∩ а и а || b, то с ∩ b (следствие 1˚).
Ответ:
с ∩ b.
На рисунке учебника АD || р и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС, РQ.
На рисунке учебника СЕ = ED, ВЕ = EF и КЕ = AD. Докажите, что КЕ || ВС.
6. Подведение итогов
1) В чём заключается главная заслуга Евклида?
2) Что называется аксиомой?
3) Какие аксиомы мы знаем?
4) Кто из русских учёных построил стройную теорию
неевклидовой геометрии?
5) Что называется следствием в математическом
смысле слова?
6) Какие следствия мы сегодня узнали?
7. Задание на дом:
§2, п.27, 28, приложение об аксиомах геометрии стр.
344-348, вопросы 7-11 стр. 68, №199, 214.
№199: Прямая р параллельна стороне АВ
треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС
пересекают прямую р.
№214: Прямая, проходящая через середину
биссектрисы AD треугольника АВС и
перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в
точке М. Докажите, что MD¦AB.
Литература:
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. − М.: Просвещение, 2003.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдина И.И. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2003.
- Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики: Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2007.
- Википедия.
Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами .
Некоторые аксиомы были сформулированы ещё в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что
Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы:
Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме:
Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.
Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился ещё в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида. Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами ) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией . В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.
Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого проведём через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b перпендикулярно к прямой с (рис. 110, (б). Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.
Рис. 110
Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает следующий вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а?
Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечёт прямую а (прямая b" на рисунке 110,6). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать?
Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.
Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).
Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых .
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями . Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 35) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника.
Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 111, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.
Рис. 111
Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем, что а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 112,6). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.
Рис. 112
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Во всякой теореме различают две части: условие и заключение . Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением - вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной , называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные трём теоремам п. 25.
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны (рис. 113).
Рис. 113
Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы ∠PMN и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР || b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой Ь. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и ∠1 = ∠2. Теорема доказана.
Замечание
При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного .
Мы предположили, что при пересечении параллельных прямых а и b секущей MN накрест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому, что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путём рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и, следовательно, ∠1 = ∠2.
Такой способ рассуждений часто используется в математике. Мы им пользовались и ранее, например в п. 12 при доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказательстве следствий 1 0 и 2 0 из аксиомы параллельных прямых.
Следствие
Действительно, пусть а || b, с ⊥ a, т. е. ∠1 = 90° (рис. 114). Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также прямую b. При пересечении параллельных прямых а и Ь секущей с образуются равные накрест лежащие углы: ∠1=∠2. Так как ∠1 = 90°, то и ∠2 = 90°, т. е. с ⊥ b, что и требовалось доказать.
Рис. 114
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так как а || b, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.
Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 следует, что ∠1 = ∠2. Теорема доказана.
Теорема
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что ∠1 + ∠4 = 180°. Так как а || b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому ∠2 + ∠4 = 180°. Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠4 = 180° следует, что ∠1 + ∠4 = 180°. Теорема доказана.
Замечание
Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами
Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.
Теорема
Доказательство
Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы и ОА || О 1 А 1 , ОВ || О 1 В 1 . Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А 1 О 1 В 1 - развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB - неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А 1 О 1 В 1 изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О 1 В 1 пересекает прямую О 1 А 1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О 1 В 1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О 1 В 1 и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О 1 А 1 пересечены секущей О 1 М, поэтому либо ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.
Рис. 115
Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.
Теорема
Доказательство
Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А 1 О 1 В 1 развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Возможны два случая (рис. 116).
1 0 . ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А 1 О 1 В 1 . Следовательно, либо.∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, либо ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . В первом случае ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , во втором случае ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Теорема доказана.
Задачи
196. Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
200. На рисунке 117 AD || p и PQ || ВС. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
Рис. 117
201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
202. На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Рис. 118
203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если:
а) один из углов равен 150°;
б) один из углов на 70° больше другого.
204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = ОD.
205. По данным рисунка 119 найдите ∠1.
Рис. 119
206. ∠ABC = 70°, a ABCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть:
а) параллельными;
б) пересекающимися?
207. Ответьте на вопросы задачи 206, если ∠АВС = 65°, а ∠BCD= 105°.
208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
209. На рисунке 120 а || b, с || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.
Рис. 120
210. Два тела Р 1 и Р 2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р 3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р 1 и Р 2 . (При этом АР 1 || ВР 2 || СР 3 .) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Рис. 121
211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
212. Прямые, содержащие высоты АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой, ∠C = 20°. Найдите угол АHВ.
Ответы к задачам
196. Одну прямую.
197. Три или четыре.
201. 105°, 105°.
203. б) Четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°.
206. а) Да; б) да.
207. а) Нет; б) да.
208. 115° и 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СР 3 .
Рис.1-2
Например, дано задание провести две параллельные прямые, причем так, чтобы через данную точку М проходила хотя бы одна из прямых. Таким образом, через заданную точку М проведем взаимно перпендикулярные прямые МN и СD . А через точку N проведем вторую прямую АВ , она должна быть перпендикулярной к прямой МN .
Сделаем вывод: прямая АВ перпендикулярна к прямой МN и прямая СD тоже перпендикулярна в прямой МN , а так как данные прямые параллельны к одной прямой, то, как следствие прямая СD параллельна АВ . Значит, через точку М проходит прямая СD , которая параллельна прямой АВ . Узнаем: можно ли провести еще одну прямую через точку М , чтобы она была параллельна прямой АВ ?
Данное утверждение является ответом на наш вопрос: через точку на плоскости, которая не лежит на данной прямой, можно провести всего одну прямую, которая будет параллельна к данной прямой. Такое отвержение в другой формулировке без доказательств еще в давние времена принял ученый Евклид. Известно, что такие утверждения, принятые без доказательства, называют аксиомами.
Вышеописанное утверждение называется аксиомой о параллельных прямых. Данная аксиома Евклида имеет огромное значение для доказательства многих теорем.
Рассмотрим обратную теорему. Если прямая пересекает параллельные прямые, то и углы, лежащие при параллельных прямых накрест, соответственно равны.
Рис.
3
Доказательство: допустим, что АС и ВD являются параллельными прямыми, тогда прямая АВ является их секущей прямой. Нам нужно доказать, что ÐСАВ =Ð АВD .
Нам нужно провести так прямую АС1 , чтобы ÐС1АВ=ÐАВD . В соответствии с аксиомой параллельности прямых АС1||ВD , в условии же мы имеем АС||ВD . А это означает, что через данную точку А проходят две прямые, причем они параллельны прямой ВD . Получается противоречие аксиоме параллельности прямых, а это означает, что прямая АС1 проведена неверно.
Правильно будет, если ÐСАВ=ÐАВD . Сделаем вывод: в том случае, когда одной из параллельных прямых перпендикулярна данная прямая, то она будет перпендикулярна и ко второй прямой.
Получается, если (MN)^(CD) и (CD)||(AB) , то Ð1=Ð2=90о . А это значит: (MN)^(AB) (Рис. 1) .
Докажем теорему: если две прямые являются параллельными к третьей, то они будут параллельны одна ко второй.
Рис. 4
Пусть прямая a параллельна прямой с и прямая b тоже параллельна прямой с (рис. 4 а) . Нам нужно доказать, что a||b .
Предположим, что прямые a и b не являются параллельными, но они пересекаются в точке М (рис. 4 б) . А это значит, что две прямые a и b , которые параллельны к прямой с проходят через одну точку, а это полное противоречие аксиоме параллельности прямых. Значит наши прямые a и b параллельны.
Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» предполагает детальное рассмотрение важной аксиомы геометрии - аксиомы параллельных прямых, ее особенностей, следствий из данной аксиомы, широко применяющихся в практике решения геометрических задач. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание аксиомы и ее следствий, сформировать представление о ее особенностях, применении при решении задач.
Подача материала в форме видеоурока открывает новые возможности для учителя. Подача ученикам стандартного блока учебного материала автоматизируется. При этом улучшается качество подачи материала, так как он обогащен наглядным представлением, анимационными эффектами, приближающими построения к реальным, проводимым на доске. Исторические сведения подаются с рисунками и фото, вызывая интерес к изучаемой теме. Видео также освобождает учителя для углубления индивидуальной работы во время обучения.
Сначала на данном видео демонстрируется название темы. Рассмотрение аксиомы начинается с построения ее модели. На экране изображены прямая а, лежащая вне ее точка М. Далее описывается доказательство утверждения, что через заданную точку М можно построить прямую, параллельную данной. Проводится перпендикулярно прямой а прямая с, затем перпендикулярно прямой с в точке М проводится прямая b. Основываясь на утверждении, о параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей, отмечаем, что прямая b параллельна исходной прямой а. Учитывая это, указываем, что в точке М проведена прямая, параллельная данной. Однако необходимо еще проверить, есть ли возможность провести через М иную параллельную прямую. На экране показано, что любой поворот прямой b в точке М приведет к построению прямой, которая пересечет прямую а. Однако возможно ли доказать невозможность проведения другой прямой?
Вопрос доказательства невозможности проведения иной прямой, параллельной данной, имеет давнюю историю. Ученикам предлагается небольшой экскурс в историю вопроса. Отмечается, что в труде Евклида «Начала» данное утверждение приведено в виде пятого постулата. Попытки ученых доказать утверждение не привели к успеху. На протяжении многих веков математиков интересовала эта задача. Однако только в прошлом веке окончательно было доказано, что данное утверждение недоказуемо в евклидовой геометрии. Оно является аксиомой. Ученикам представляется один из знаменитых математиков, вложивших значительный вклад в математическую науку - Николай Иванович Лобачевский. Именно он сыграл важную роль в окончательном решении вопроса. Поэтому утверждение, рассматриваемое на данном уроке, является аксиомой, лежащей в фундаменте науки наряду с другими аксиомами.
Далее предлагается рассмотреть следствия из данной аксиомы. Для этого необходимо уточнить понятие «следствия». На экране отображается определение следствий как утверждений, выводящихся непосредственно из теорем или аксиом. Данное определение может быть предложено ученикам для записи в тетрадь. Понятие следствий демонстрируется на примере, который уже рассматривался в видеоуроке 18 «Свойства равнобедренного треугольника». На экране выведена теорема о свойствах равнобедренного треугольника. Напоминается, что после доказательства данной теоремы рассматривались не менее важные следствия из нее. Так, если основная теорема утверждала, что биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, то следствия имели близкое содержание, утверждая, что и высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, а также медиана равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.
Уточнив понятие следствий, рассматриваются непосредственно следствия, выходящие из данной аксиомы параллельности прямых. На экране отображается текст первого следствия аксиомы, утверждающий, что пересечение прямой одной из параллельных прямых означает пересечение ею и второй параллельной прямой. На рисунке под текстом следствия изображается прямая b и параллельная ей прямая а. Вторая прямая пересекает прямую с в точке М, принадлежащей прямой а. Приводится доказательство утверждения, что прямая с пересечет также прямую b. Доказательство производится от противного, используя аксиому о параллельных прямых. Если предположить, что прямая с не пересекает b, это означает, что через данную точку можно провести еще одну прямую, параллельную указанной. Но это невозможно, учитывая аксиому параллельных прямых. Следовательно, с пересекает также прямую b. Следствие доказано.
Далее рассматривается второе следствие из данной аксиомы. На экране отображается текст следствия, утверждающего, что если две прямые являются параллельными третьей, то можно утверждать о параллельности их между собой. На рисунке, демонстрирующем данное утверждение, построены прямые а, b, с. При этом прямая с как параллельная обеим прямым, выделена синим цветом. Предлагается доказать данное утверждение. В ходе доказательства допускается, что параллельные прямой с прямые а, b не являются параллельными между собой. Это означает, что они имеют точку пересечения. Это означает, что проходящие через точку М, обе прямые параллельны данной, что вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых. Данное следствие верно.
Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» может облегчить учителю задачу объяснить ученикам особенности аксиомы, доказательства ее следствий, облегчить запоминание материала школьниками на обычном уроке. Также данный видеоматериал может быть использован при дистанционном обучении, быть рекомендованным для самостоятельного изучения.
Аксиома параллельности Евклида
Аксиома параллельности Евклида , или пятый постулат - одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида:
Евклид различает понятия постулат и аксиома , не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.
На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:
Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.
Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.
Эквивалентные формулировки постулата о параллельных
В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):
В плоскости через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.
Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:
§ Существует прямоугольник (хотя бы один ), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
§ Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса , 1693).
§ Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
§ Существует треугольник сколь угодно большой площади.
§ Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца , 1791).
§ Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.
§ Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются.
§ Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
§ Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).
§ Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,
§ Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона , 1756).
§ Сумма углов одинакова у всех треугольников.
§ Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
§ Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского , 1855).
§ Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
§ Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.
§ Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи ).
§ Справедлива теорема Пифагора.
Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.
Если вместо V постулата допустить, что для пары точка-прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.
Система аксиом сферической геометрии требует изменения также и других аксиом Евклида..
Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.
«Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных». Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. В.П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой. М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой. Надо пояснить, что античные математики избегали использовать актуальную бесконечность; например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны.